Numerische Simulation des getriebenen Pendels
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Version 1.2, V.Ossenkopf, 20.6.99
Pendel ist ein graphisches Tool zur Veranschaulichung des dynamischen
Verhaltens des getriebenen Pendels
1. Mathematische Grundlagen
Das physikalische Pendel wird durch die Differentialgleichung
d²y dy
--- + a -- + b sin( y ) = k cos ( ot )
dt² dt
beschrieben. Diese nichtlineare Gleichung führt bei großen Anregungs-
amplituden k zu chaotischem Verhalten des Pendels. Insbesondere die
Überschläge bei y= +/- Pi führen dann zu nicht vorhersagbarem Verhalten
mit sensitiver Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.
Im Computerexperiment wird die Differentialgleichung für die ange-
gebenen Parameter und Startbedingungen mit einem Runge-Kutta-Verfahren
4. Ordnung bei einer Schrittweite von 1/200 der minimalen Periode
gelöst. Das Verhalten für die angegebene Zahl von Perioden angezeigt,
wobei als Periode hier das Maximum der Eigenperiode des Pendels oder
der äußeren Anregung benutzt wird.
2. Eingabefelder
Als Eingabewerte sollten die vier Parameter der Differentialgleichung
und die Anfangswerte für den Ort (Winkel) und die Geschwindigkeit des
Pendels gegeben werden. Parameter, die freigelassen oder nichtnumerisch
besetzt sind, werden als 0 interpretiert.
Die angegebene Periodenzahl beeinflußt die Länge der Berechnung und
Anzeige der Trajektorie des Pendels. Ein leerer Eintrag hier wird mit
20 Perioden besetzt.
Beim Druck auf den "Berechnen"-Knopf wird die Auswertung für die
aktuell gewählten Parameter gestartet und graphisch dargestellt.
Beim Druck auf einen Mausknopf im Ausgabefenster werden die aktuellen
Mauskoordinaten mit Pixelgenauigkeit in der Statuszeile angezeigt.
3. Einzelheiten der Auswerteprozeduren
a) Zeit-Amplitudendiagramm:
Hier wird die Trajektorie des Ortes (Winkels) des Pendels gegen die
Zeit t aufgetragen.
b) Phasenraum:
Die Trajektorie des Pendels wird im Phasenraum dargestellt. Die
letzte Periode wird farblich abgehoben dargestellt, so daß sich
ein periodischer Zyklus gut von chaotischem Verhalten unterscheiden
läßt.
c) Periodenstroboskop:
Zu allen Zeitpunkten t mod (2Pi/o) = 0 wird der jeweilige Punkt im
Phasenraum markiert. Durch diese stroboskopische Darstellung lassen
sich periodisches, quasiperiodisches und chaotisches Verhalten
gut unterscheiden.
Dabei wird der Winkel des Pendels periodisch in den Raum zwischen
-Pi und +Pi umgebrochen.
d) Ljapunow-Exponent:
Ausgehend von einer kleinen Störung in den Anfangsbedingungen wird
der maximale Ljapunow-Exponent des dynamischen Systems berechnet und
in der bis zur gerade berechneten Zeit ermittelten Genauigkeit
angezeigt. Für eine zuverlässige Bestimmung sollte deshalb der Endwert
nach einer relativ großen Periodenzahl benutzt werden.
e) Diskretisierungsfehler:
Zur Darstellung der empfindlichen Abhängigkeit chaotischer Systeme
von der Diskretisierung in der Berechnung der Lösungen wird die
Differentialgleichungen mit einer gegenüber der Standardschrittweite
um den Faktor 10 vergrößerten Schrittweite berechnet und der Unter-
schied beider Lösungen zusammen mit der genaueren Lösung gegen die
Zeit aufgetragen. Man findet bei chaotischem Verhalten ein Anwachsen
des Fehlers bis in die Größe der Lösung selbst.
Diese Methoden sollen ein einfaches Demonstrationsmittel für das
Verhalten chaotischer Differentialgleichungen vermitteln. Zur
generellen Einführung der verschiedenen Analysemethoden wie
Ljapunow-Exponenten oder der Spektralanalyse ist das Simulationstool
für diskrete Iterationssysteme ChaosWid allerdings besser geeignet.