Simulator für komplexe Differenzengleichungen ----------------------------------------------- Version 1.8, V.Ossenkopf, 13.6.99 ComplexWid ist ein graphisches Tool zur Veranschaulichung des Ver- haltens nichtlinearer zweidimensionaler Differenzengleichungen. Es stellt eine Erweiterung des Simulationstools ChaosWid auf komplexe Zahlen und damit eine zweite Dimension dar. Es erlaubt die einfache Berechnung von typischen Parametern zur Charakterisierung chaotischen Verhaltens wie den maximalen Ljapunow-Exponenten. Im folgenden werden die Eingabeparameter und graphischen Darstellungen in den verschiedenen Auswertemethoden erläutert: 1. Allgemeine Eingaben Die Iterationsformel der Differenzengleichung muß immer angegeben werden. Sie enthält die rechte Seite der Iterationsgleichung für die Iterationsvariable x und kann von einem weiteren Parameter q abhängen. Alle numerischen Parameter können reel oder komplex besetzt werden. Komplexe zahlen sind als (Realteil,Imaginärteil) zu schreiben. Die Berechnung erfolgt grundsätzlich komplex. Zweidimensionale Abbildungen wie die Henon-Abbildung mit ihren beiden Parametern a und b werden in die komplexe Ebene mit q=(a,b) übersetzt. Aufgrund des höheren Rechenaufwandes in höheren Dimensionen kann hier die tatsächliche Ausflösung, mit der gerechnet wird, gegenüber der Bildschirmauflösung reduziert werden. Der Auflösungsparameter wirkt dabei stets in beiden Dimensionen gleich. Alle numerischen Felder können im Prinzip leer bleiben. Fehlende oder nichtnumerische Einträge werden als 0 interpretiert. Wenn keine Auf- lösung angegeben wird, wird in Bildschirmauflösung gerechnet. Bei einer fehlenden Zyklenzahl wird mit 400 Zyklen gerechnet. Beim Druck auf den "Berechnen"-Knopf wird die Auswertung für die aktuell gewählten Parameter gestartet und graphisch dargestellt. Beim Druck auf einen Mausknopf im Ausgabefenster werden die aktuellen Mauskoordinaten mit Pixelgenauigkeit in der Statuszeile angezeigt. 2. Einzelheiten der Auswerteprozeduren 1) Orbit: Ausgehend vom Startwert wird die Trajektorie der Abbildung in der komplexen Ebene dargestellt. Punkte außerhalb des Wertebereichs werden nicht dargestellt. Der darzustellende Wertebereich ist durch den Real- und Imaginärteil- bereich gegeben. Die Zyklenzahl gibt die Anzahl zu berechnender Punkte vor. Bei einer negativen Zyklenzahl werden die Punkte in der Graphik verbunden. 2a) Abbildung (x0): Zur Veranschaulichung der Wirkung einer Einzeliteration wird für alle Startwerte die Abbildung durch die Iterationsgleichung berechnet und der Bertrag des Ergebnisses als farbkodiertes (rainbow) Grau- stufenbild angezeigt. Wenn Die Zyklenzahl nicht vorgegeben ist, wird genau eine Iteration durchgeführt. Es empfielt sich wenige, höchstens etwa 5 Zyklen zu benutzen, um noch ein interpretierbares Bild zu erhalten. Real- und Imaginärteilbereich geben die möglichen Startwerte vor. 2b) Abbildung (q): Ausgehend vom vorgegebenen Startwert wird für alle Gleichungsparameter q aus dem angegebenen Wertebereich die Wirkung der Iterationsgleichung berechnet und der Bertrag des Ergebnisses als farbkodiertes Grau- stufenbild angezeigt. Wenn Die Zyklenzahl nicht vorgegeben ist, wird genau eine Iteration durchgeführt. Es empfielt sich wenige, höchstens etwa 5 Zyklen zu benutzen, um noch ein interpretierbares Bild zu erhalten. 3a) Divergenzgeschwindigkeit (x0) - Julia-Menge: Ausgehend von allen Startwerten des angegebenen Bereichs wird die Anzahl der Zyklen errechnet bis die Trajektorie bei Absolutwerten jenseits des Quadrates der Zyklenzahl angekommen ist. Die damit berechnete Divergenzgeschwindigkeit wird als farbkodiertes Graustufen- bild angezeigt. Die Zyklenzahl beeinflußt einerseits die maximale Anzahl von Schritten im Orbit, die berechnet wird, und andererseits die Grenze, die für die Berechnung der Divergenzgeschwindigkeit gesetzt wird. Der Werte- bereich gibt die möglichen Startwerte vor. 3b) Divergenzgeschwindigkeit (q) - Mandelbrot-Menge: Ausgehend vom aktuellen Startwert wird für alle Gleichungsparameter q des Wertebereichs die Anzahl der Zyklen errechnet bis die Trajektorie bei Absolutwerten jenseits des Quadrates der Zyklenzahl angekommen ist. Die damit berechnete Divergenzgeschwindigkeit wird als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Die Zyklenzahl beeinflußt einerseits die maximale Anzahl von Schritten im Orbit, die berechnet wird, und andererseits die Grenze, die für die Berechnung der Divergenzgeschwindigkeit gesetzt wird. Der Werte- bereich gibt die möglichen Gleichungsparameter vor. 4a) mittlerer Ljapunow-Exponent (x0) : Für alle Trajektorien ausgehend von den Startwerten des Wertebereichs wird ein mittlerer Ljapunow-Exponent berechnet, der sich gegenüber der Berechnung der beiden eindimensionalen Ljapunow-Exponenten dadurch auszeichnet, daß die betrachtete Störung in der Abbildung nicht "mitgedreht" wird. Es werden Ljapunow-Exponenten zwischen +6 und -6 als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Startwerte. 4b) mittlerer Ljapunow-Exponent (q): Ausgehend vom angegebenen Startwert wird für alle Gleichungsparameter q des Wertebereichs ein mittlerer Ljapunow-Exponent berechnet, der sich gegenüber der Berechnung der beiden eindimensionalen Ljapunow- Exponenten dadurch auszeichnet, daß die betrachtete Störung in der Abbildung nicht "mitgedreht" wird. Es werden Ljapunow-Exponenten zwischen +6 und -6 als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Gleichungsparameter. 5a) maximaler Ljapunow-Exponent (x0): Für alle Startwerte des Wertebereichs wird der maximale eindimen- sionale Ljapunow-Exponent berechnet. Werte zwischen +6 und -6 werden als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Startwerte. 5b) maximaler Ljapunow-Exponent (q): Ausgehend vom angegebenen Startwert wird für alle Gleichungsparameter q des Wertebereichs der maximale eindimensionale Ljapunow-Exponent berechnet. Werte zwischen +6 und -6 werden als farbkodiertes Grau- stufenbild angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Gleichungsparameter. 6a) Exponentendifferenz (x0): Zum Vergleich der beiden eindimensionalen Ljapunow-Exponenten wird die Differenz beider Exponenten für alle Startwerte des Wertebereichs berechnet und als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Der Anzeige- bereich ist hierbei auf Werte zwischen 0 und 2 begrenzt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Startwerte. 6b) Exponentendifferenz (q): Zum Vergleich der beiden eindimensionalen Ljapunow-Exponenten wird die Differenz beider Exponenten für alle Gleichungsparameter q des Wertebereichs berechnet und als farbkodiertes Graustufenbild angezeigt. Der Anzeigebereich ist hierbei auf Werte zwischen 0 und 2 begrenzt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Gleichungsparameter. Der angegebene Startwert wird für alle Trajektorien benutzt. 7a) relative Ausrichtung (x0): Eine zweite Methode zum Vergleich der beiden eindimensionalen Ljapunow-Exponenten ist die Messung der relativen Ausrichtung zweier orthogonaler Störungen zueinander während jedes Abbildungs- schrittes. Diese mittlere Ausrichtung wird berechnet und der Sinus des Winkels als farbkodiertes Graustufenbild für die Trajektorien ausgehend von allen Startwerten des Wertebereichs angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Startwerte. 7b) relative Ausrichtung (q): Zum Vergleich der beiden eindimensionalen Ljapunow-Exponenten wird die relative Ausrichtung zweier orthogonaler Störungen zueinander während jedes Abbildungsschrittes berechnet. Der Sinus des Winkels wird als farbkodiertes Graustufenbild für alle Gleichungsparameter des Wertebereichs angezeigt. Die Zyklenzahl gibt die Schritte der Trajektorie und damit die Genauigkeit der Berechnung des Ljapunow-Exponenten vor. Der Werte- bereich bestimmt die möglichen Gleichungsparameter. Der angegebene Startwert wird für alle Trajektorien benutzt. Mit diesen Methoden sollten sich einige wichtige Merkmale des Verhaltens zweidimensionaler bzw. komplexer nichtlinearer Differenzen- gleichungen schnell und ansprechend demonstrieren lassen.