Simulator für chaotische Differenzengleichungen ----------------------------------------------- Version 1.8, V.Ossenkopf, 13.6.99 ChaosWid ist ein graphisches Tool zur Veranschaulichung des Ver- haltens nichtlinearer Differenzengleichungen. Es erlaubt die einfache Berechnung von typischen Parametern zur Charakterisierung chaotischen Verhaltens wie Fixpunkte, Ljapunow-Exponenten oder Fourierspektren. Im folgenden werden die Eingabeparameter und graphischen Darstellungen in den verschiedenen Auswertemethoden erläutert: 1. Allgemeine Eingaben Die Iterationsformel der Differenzengleichung muß immer angegeben werden. Sie enthält die rechte Seite der Iterationsgleichung für die Iterationsvariable x und kann von einem weiteren Parameter q abhängen. Wenn die Flagge für Periodizität gesetzt ist, wird das Ergebnis periodisch in den angegebenen Wertebereich umgebrochen. Alle numerischen Felder können im Prinzip leer bleiben. Fehlende oder nichtnumerische Einträge werden als 0 interpretiert. Ein fehlernder Wertebereich wird dem Darstellungsbereich gleichgesetzt. Eine fehlende Zyklenzahl wird der Pixelzahl des Ausgabefensters in x-Richtung gleichgesetzt. Beim Druck auf den "Berechnen"-Knopf wird die Auswertung für die aktuell gewählten Parameter gestartet und graphisch dargestellt. Beim Druck auf einen Mausknopf im Ausgabefenster werden die aktuellen Mauskoordinaten mit Pixelgenauigkeit in der Statuszeile angezeigt. 2. Einzelheiten der Auswerteprozeduren 1a) Einzelorbit im Wertebereich: Es wird die Iterationsgleichung zusammen mit der identischen Abbildung graphisch dargestellt. Ausgehend vom Startwert wird der Iterations- prozeß grafisch veranschaulicht, indem die Trajektorie im Wertebereich gezeichnet wird. Der Darstellungsbereich gibt die Ordinatenskala, der Wertebereich die Abszissenskala vor. Bei fehlender Zyklenzahl oder einer Zyklenzahl von 0 wird nur die Iterationsformel veranschaulicht. 1b) Einzelorbit : Es wird ein Orbit der Differenzengleichung ausgehend vom vorgegebenen Startwert berechnet. Die Zyklenzahl gibt die Anzahl der zu berechnenden Punkte vor. Bei einer negativen Zyklenzahl werden die Punkte in der Graphik verbunden. Der Darstellungsbereich gibt die Ordinatenskala vor. Der Wertebereich bestimmt den Wertebereich der periodischen Iterationsformel. 2) Pseudostabile Orbits: Ausgehend von allen im Rahmen der Pixelauflösung darstellbaren Start- werten werden Schritt für Schritt die Orbits berechnet, wobei nicht erreichte Punkte nicht mehr als Ausgangspunkt für den jeweils nächsten Iterationsschritt zur Verfügung stehen. Damit bleiben letztlich nur die Orbits übrig, die im Rahmen der numerischen Behandlung stabil sind. Die Gesamtheit aller dieser Orbits wird dargestellt. Die Zyklenzahl gibt die Anzahl der zu berechnenden Punkte vor. Der Darstellungsbereich gibt die Ordinatenskala vor. Der Wertebereich bestimmt den Gesamtbereich der Iterationsgleichung für den gültige Funktionswerte behandelt werden. Ein Startwert wird nicht benutzt. 3) Einzelorbitdichte: Das Histogramm der Verteilung der einzelnen Punkte des Orbits ausgehend vom gewählten Startwert wird dargestellt. Es empfiehlt sich hier eine relativ hohe Zyklenzahl zu benutzen, um eine signifikante Verteilung zu erhalten. Die Zyklenzahl gibt die Anzahl der berechneten Punkte vor. Der Dar- stellungsbereich bestimmt die anzuzeigende Abszissenskala und der Wertebereich den Gesamtwertebereich der durch das Histogramm erfaßt wird. 4a) Invariante Dichte (x0): Die Histogramme der Verteilung der Punkte der Orbits aller Startwerte werden als farbkodiertes (rainbow) Graustufenbild in Abhängigkeit von den Startwerten dargestellt. Die Zyklenzahl bestimmt die Anzahl der Punkte pro Orbit. Der Darstel- lungsbereich gibt den Ausschnitt des Wertebereichs an, der als Start- wertemenge benutzt wird. Er gibt die Abszisse vor. Der Wertebereich auf dem das Histogramm berechnet wird, ist auf der Ordinate aufgetragen. Der Einzel-Startwert wird nicht benutzt. 4b) Invariante Dichte (q): Die Histogramme der Verteilung der Punkte der Orbits mit dem ange- gebenen Startwert werden als farbkodiertes Graustufenbild in Abhängig- keit vom Gleichungsparameter q dargestellt. Die Zyklenzahl bestimmt die Anzahl der Punkte pro Orbit. Der Darstel- lungsbereich gibt den Variationsbereich des Gleichungsparameters q an und wird auf der Abszisse aufgetragen. Der Wertebereich über dem das Histogramm berechnet wird, ist auf der Ordinate aufgetragen. 5a) Ljapunow-Exponent (x0): Für jeden möglichen Startwert wird der Ljapunow-Exponent des Orbits berechnet und dargestellt. Die Zyklenzahl bestimmt damit die Genauigkeit der Berechnung des Expo- nents. Der Darstellungsbereich gibt den Ausschnitt des Wertebereichs an, der als Startwertemenge benutzt wird. Er gibt die Abszisse vor. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fortsetzung gebraucht. Ein Einzel-Startwert wird nicht benutzt. 5b) Ljapunow-Exponent (q): Innerhalb des ausgewählten Bereiches des Gleichungsparameters q wird der Ljapunow-Exonent für den angegebenen Startwert berechnet und dargestellt. Die Zyklenzahl bestimmt damit die Genauigkeit der Berechnung des Expo- nents. Der Darstellungsbereich gibt den Variationsbereich des Gleichungsparameters q an und wird auf der Abszisse aufgetragen. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fortsetzung gebraucht. 6a) Windungszahl (x0): Für jeden moglichen Startwert innerhalb des Darstellungsbereiches wird die Windungszahl des Orbits berechnet und dargestellt. Dabei wird die Modulo-Berechnung in jedem Schritt erst nach der Berechnung der Windungszahl ausgeführt, so daß sie darauf keinen Einfluß hat. Die Zyklenzahl bestimmt damit die Genauigkeit der Berechnung des Expo- nents. Der Darstellungsbereich gibt den Ausschnitt des Wertebereichs an, der als Startwertemenge benutzt wird. Er gibt die Abszisse vor. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fortsetzung gebraucht. Ein Einzel-Startwert wird nicht benutzt. 6b) Windungszahl (q): Innerhalb des ausgewählten Bereiches des Gleichungsparameters q wird die Windungszahl für den angegebenen Startwert berechnet und dar- gestellt. Die Modulo-Berechnung bei periodischem Umbruch wird in jedem Schritt erst nach der Berechnung der Windungszahl ausgeführt. Die Zyklenzahl bestimmt damit die Genauigkeit der Berechnung. Der Darstellungsbereich gibt den Variationsbereich des Gleichungs- parameters q an und wird auf der Abszisse aufgetragen. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fortsetzung gebraucht. 7) Feigenbaum: Hier wird für die Parameter q innerhalb des Darstellungsbereiches jeweils eine Trajektorie ausgehend vom Startwert berechnet und jedem Punkt des Wertebereichs entsprechend seiner Häufigkeit in der Trajektorie ein Farbwert zugewiesen. Damit lassen sich sehr leicht stabile und chaotische Orbits erkennen. Die Zyklenzahl bestimmt die Genauigkeit der Berechnung. Der Dar- stellungsbereich gibt den Variationsbereich des Gleichungsparameters q an. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fort- setzung benötigt. 8a) Periodische Fixpunkte (Perioden): Für den vorgegebenen Startwert und Gleichungsparameter werden periodische Fixpunkte gesucht und in Abhängigkeit von ihrer jeweiligen Periode dargestellt. Die Zyklenzahl beeinflußt wesentlich die maximale Periode, die ermittelt werden kann. Es werden nur Periodizitäten bis zur Wurzel der Zyklenzahl dargestellt. Der Darstellungsbereich bestimmt den Ausschnitt des Wertebereichs, in dem die Fixpunkte angezeigt werden sollen. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fort- setzung benötigt. 8b) Periodische Fixpunkte (q): Für Gleichungsparameter q innerhalb des Darstellungsbereiches werden alle periodischen Orbits gesucht und dargestellt. Verschiedene Perioden werden durch verschiedene Farben kodiert. Die Zyklenzahl beeinflußt wesentlich die maximale Periode, die gefunden werden kann. Der Darstellungsbereich gibt den Variations- bereich des Gleichungsparameters q an. Der Wertebereich wird für die Berechnung der periodischen Fortsetzung benötigt. 9) Frequenzspektrum: Hier wird die Trajektorie Fourier-transformiert und das resultierende Spektrum dargestellt. Damit lassen sich periodische und quasi- periodische Orbits leicht erkennen. Die Zyklenzahl bestimmt die Frequenzauflösung und das Grundrauschen aus den Anfangsbedingungen. Der Darstellungsbereich wird nicht be- nutzt. Der Wertebereich ist für die periodische Fortsetzung wichtig. 10) Autokorrelationsfunktion Die Autokorrelationsfunktion der Trajektorie für den jeweiligen Startwert und Gleichungsparameter q wird berechnet und dargestellt. Die Zyklenzahl gibt die maximal zu ermittelnde Korrelationslänge und damit den Abszisssenbereich vor. Der Darstellungsbereich wird nicht benutzt. Mit diesen Methoden sollten sich die wichtigsten Merkmale nichtlinearer Differenzengleichungen schnell und ansprechend demonstrieren lassen.