Numerische Simulation des getriebenen Pendels ----------------------------------------------- Version 1.2, V.Ossenkopf, 20.6.99 Pendel ist ein graphisches Tool zur Veranschaulichung des dynamischen Verhaltens des getriebenen Pendels 1. Mathematische Grundlagen Das physikalische Pendel wird durch die Differentialgleichung d²y dy --- + a -- + b sin( y ) = k cos ( ot ) dt² dt beschrieben. Diese nichtlineare Gleichung führt bei großen Anregungs- amplituden k zu chaotischem Verhalten des Pendels. Insbesondere die Überschläge bei y= +/- Pi führen dann zu nicht vorhersagbarem Verhalten mit sensitiver Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Im Computerexperiment wird die Differentialgleichung für die ange- gebenen Parameter und Startbedingungen mit einem Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung bei einer Schrittweite von 1/200 der minimalen Periode gelöst. Das Verhalten für die angegebene Zahl von Perioden angezeigt, wobei als Periode hier das Maximum der Eigenperiode des Pendels oder der äußeren Anregung benutzt wird. 2. Eingabefelder Als Eingabewerte sollten die vier Parameter der Differentialgleichung und die Anfangswerte für den Ort (Winkel) und die Geschwindigkeit des Pendels gegeben werden. Parameter, die freigelassen oder nichtnumerisch besetzt sind, werden als 0 interpretiert. Die angegebene Periodenzahl beeinflußt die Länge der Berechnung und Anzeige der Trajektorie des Pendels. Ein leerer Eintrag hier wird mit 20 Perioden besetzt. Beim Druck auf den "Berechnen"-Knopf wird die Auswertung für die aktuell gewählten Parameter gestartet und graphisch dargestellt. Beim Druck auf einen Mausknopf im Ausgabefenster werden die aktuellen Mauskoordinaten mit Pixelgenauigkeit in der Statuszeile angezeigt. 3. Einzelheiten der Auswerteprozeduren a) Zeit-Amplitudendiagramm: Hier wird die Trajektorie des Ortes (Winkels) des Pendels gegen die Zeit t aufgetragen. b) Phasenraum: Die Trajektorie des Pendels wird im Phasenraum dargestellt. Die letzte Periode wird farblich abgehoben dargestellt, so daß sich ein periodischer Zyklus gut von chaotischem Verhalten unterscheiden läßt. c) Periodenstroboskop: Zu allen Zeitpunkten t mod (2Pi/o) = 0 wird der jeweilige Punkt im Phasenraum markiert. Durch diese stroboskopische Darstellung lassen sich periodisches, quasiperiodisches und chaotisches Verhalten gut unterscheiden. Dabei wird der Winkel des Pendels periodisch in den Raum zwischen -Pi und +Pi umgebrochen. d) Ljapunow-Exponent: Ausgehend von einer kleinen Störung in den Anfangsbedingungen wird der maximale Ljapunow-Exponent des dynamischen Systems berechnet und in der bis zur gerade berechneten Zeit ermittelten Genauigkeit angezeigt. Für eine zuverlässige Bestimmung sollte deshalb der Endwert nach einer relativ großen Periodenzahl benutzt werden. e) Diskretisierungsfehler: Zur Darstellung der empfindlichen Abhängigkeit chaotischer Systeme von der Diskretisierung in der Berechnung der Lösungen wird die Differentialgleichungen mit einer gegenüber der Standardschrittweite um den Faktor 10 vergrößerten Schrittweite berechnet und der Unter- schied beider Lösungen zusammen mit der genaueren Lösung gegen die Zeit aufgetragen. Man findet bei chaotischem Verhalten ein Anwachsen des Fehlers bis in die Größe der Lösung selbst. Diese Methoden sollen ein einfaches Demonstrationsmittel für das Verhalten chaotischer Differentialgleichungen vermitteln. Zur generellen Einführung der verschiedenen Analysemethoden wie Ljapunow-Exponenten oder der Spektralanalyse ist das Simulationstool für diskrete Iterationssysteme ChaosWid allerdings besser geeignet.